2 üzeri Ters

Matematikçi olduğum için bu soruya kesin bir cevap vereceğim. Kurt Gödel sayesinde kanıtlanamayan doğru matematik önermeler olduğunu biliyoruz. Ama ben bundan biraz daha fazlasını istiyorum. Doğru olan, kanıtlanamayan ve matematikçi olmayan insanlar tarafından da anlaşılacak kadar basit bir önerme istiyorum. İşte size böyle bir önerme.

İkinin üssü olan sayılar 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 vb.dir. Beşin üsleri ise 5, 25, 125, 625, vb.dir. 131.072 ikinin üslerinden biridir; basamaklarını ters çevirirsek ortaya 270.131 çıkar. Benim önermem ise şu: İkinin ÜSSÜ olan bir sayının tersi, hiçbir zaman beşin üssü olamaz.

İkinin büyük üslerinin basamakları belli bir şemayı takip etmeden, gelişigüzel ortaya çıkıyormuş gibi görünür. İkinin üslerinden birinin tersinin, beşin üssü çıkması, düşük ihtimalli bir rastlantı olur ve bunun gerçekleşme ihtimali de rakamlar büyüdükçe hızla küçülür. Basamakların rastgele ortaya çıktığını varsayarak, söz konusu rastlantının, ikinin bir milyardan büyük üslerinden birinde gerçekleşmesi ihtimali, milyarda birden azdır. Rastlantının, ikinin bir milyardan küçük üslerinde gerçekleşmediği ise kolaylıkla kontrol edilebilir. Bu durumda rastlantının herhangi bir şekilde gerçekleşme ihtimali, milyarda birden azdır. İşte bu yüzden önermenin doğru olduğuna inanıyorum.

Ama ikinin büyük üslerinin basamaklarının rastlantısal oluştuğu varsayımı, aynı zamanda önermenin kanıtlanamaz olduğuna da işaret ediyor. Önermeye dair herhangi bir kanıt, basamakların rastlantısal olmayan bir niteliği üstüne kurulu olmak zorunda. Rastlantısallık varsayımı şu anlama geliyor: Bu önerme, yalnızca ihtimaller kendisinden yana olduğu için doğrudur. Böyle bir şey kanıtlanamaz, çünkü neden doğru olması gerektiğini açıklayacak derin bir matematiksel sebep mevcut değildir.

Uzmanlar için not:
Beşin üsleri yerine üçün üsleri kullanılırsa, bu argüman işlemeyecektir. O durumda önermenin kanıtlanması kolay olur, çünkü üçe bölünebilen bir rakamın tersi de üçe bölünebilir. Üçe bölünebilirlik, basamakların rastlantısal olmayan bir özelliğidir.

Doğru olma ihtimalleri yüksek olduğu halde, kanıtlanamayacak başka önerme örnekleri bulmak da mümkün. Bütün mesele, her biri rastlantı sonucu oluşabilecek, ama tek birinin bile toplam gerçekleşme ihtimali düşük olan, sonsuz bir olaylar dizisi bulmaktır. İşte o zaman olayların hiçbiri, hiçbir zaman gerçekleşmez önermesi, doğru ama kanıtlanamaz olabilir.

FREEMAN DYSON

FREEMAN DYSON Princeton lnstitute for Advanced Study’de “emeritus (üstad) profesör” unvanıyla görevini sürdürüyor. Halkı aydınlatmaya yönelik bilim üzerine çeşitli kitaplar yazdı. Dünyalar ile Güneş Genom ve Internet bunlardan ikisi.

Kaynak: NTV yayınları, What We Believe but Cannot Prove (Kanıtı Olmayan Gerçekler) Sayfa 86-87