Matematikçi olduğum için bu soruya kesin bir cevap vereceğim. Kurt Gödel sayesinde kanıtlanamayan doğru matematik önermeler olduğunu biliyoruz. Ama ben bundan biraz daha fazlasını istiyorum. Doğru olan, kanıtlanamayan ve matematikçi olmayan insanlar tarafından da anlaşılacak kadar basit bir önerme istiyorum. İşte size böyle bir önerme.
İkinin üssü olan sayılar 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 vb.dir. Beşin üsleri ise 5, 25, 125, 625, vb.dir. 131.072 ikinin üslerinden biridir; basamaklarını ters çevirirsek ortaya 270.131 çıkar. Benim önermem ise şu: İkinin ÜSSÜ olan bir sayının tersi, hiçbir zaman beşin üssü olamaz.
İkinin büyük üslerinin basamakları belli bir şemayı takip etmeden, gelişigüzel ortaya çıkıyormuş gibi görünür. İkinin üslerinden birinin tersinin, beşin üssü çıkması, düşük ihtimalli bir rastlantı olur ve bunun gerçekleşme ihtimali de rakamlar büyüdükçe hızla küçülür. Basamakların rastgele ortaya çıktığını varsayarak, söz konusu rastlantının, ikinin bir milyardan büyük üslerinden birinde gerçekleşmesi ihtimali, milyarda birden azdır. Rastlantının, ikinin bir milyardan küçük üslerinde gerçekleşmediği ise kolaylıkla kontrol edilebilir. Bu durumda rastlantının herhangi bir şekilde gerçekleşme ihtimali, milyarda birden azdır. İşte bu yüzden önermenin doğru olduğuna inanıyorum.
Ama ikinin büyük üslerinin basamaklarının rastlantısal oluştuğu varsayımı, aynı zamanda önermenin kanıtlanamaz olduğuna da işaret ediyor. Önermeye dair herhangi bir kanıt, basamakların rastlantısal olmayan bir niteliği üstüne kurulu olmak zorunda. Rastlantısallık varsayımı şu anlama geliyor: Bu önerme, yalnızca ihtimaller kendisinden yana olduğu için doğrudur. Böyle bir şey kanıtlanamaz, çünkü neden doğru olması gerektiğini açıklayacak derin bir matematiksel sebep mevcut değildir.
Uzmanlar için not:
Beşin üsleri yerine üçün üsleri kullanılırsa, bu argüman işlemeyecektir. O durumda önermenin kanıtlanması kolay olur, çünkü üçe bölünebilen bir rakamın tersi de üçe bölünebilir. Üçe bölünebilirlik, basamakların rastlantısal olmayan bir özelliğidir.Doğru olma ihtimalleri yüksek olduğu halde, kanıtlanamayacak başka önerme örnekleri bulmak da mümkün. Bütün mesele, her biri rastlantı sonucu oluşabilecek, ama tek birinin bile toplam gerçekleşme ihtimali düşük olan, sonsuz bir olaylar dizisi bulmaktır. İşte o zaman olayların hiçbiri, hiçbir zaman gerçekleşmez önermesi, doğru ama kanıtlanamaz olabilir.
FREEMAN DYSON
ÖĞRENCİ: Merhaba hocam. Bir sorunum var. Bize öğrettiğiniz şeyleri denemek için küçük bir olasılık deneyi yapmak istedim, yazı-tura gibi yani. Ama işe yaramadı.
HOCA: Hmm, ilgilenmene sevindim. Ne yaptın bakalım?
ÖĞRENCİ: Yazı-tura için şu parayı 1.000 kez attım. Hani bize, tura gelme olasılığı yarı yarıyadır demiştiniz ya. Düşündüm ki parayı 1.000 kere atarsam, 500 kez tura gelmesi gerekir. Ama öyle olmadı. 513 kere geldi. Sorun nedir acaba?
HOCA: Evet ama hata payını unutmuşsun. Belli bir sayıda yazı-tura atarsan hata payı, para atma sayısının yaklaşık karekökü kadardır. 1.000 atışın hata payı ise aşağı yukarı 30’dur. Yani aslında elde ettiğin sonuç, hata payının sınırları dâhilinde kalıyor.
ÖĞRENCİ: A, şimdi anladım! Her 1.000 arışta 470 ile 530 arası bir sayıda tura gelecek. Her 1.000’lik atışta yani! Vay canına, sağlam bilgi diye buna derim ben!
HOCA: Hayır, hayır, öyle değil! Anlamı şu: Her 1.000’lik atışta 470 ile 530 arası bir sayıda tura gelme “olasılığı” var.
ÖĞRENCİ: Yani 200 kez tura da gelebilir, öyle mi? Ya da 850 kez? Yoksa hepsi tura gelebilir mi?
HOCA: Büyük olasılıkla gelmez.
ÖĞRENCİ: Belki de yeterince çok sayıda atış yapmamışımdır. Eve gidip bir milyon defa atmayı mı denesem acaba? Öyle daha mı iyi olur?
HOCA: Büyük olasılıkla.
ÖĞRENCİ: Haydi ama hocam. Bana sağlam bir şey söyleyin. “Olasılığın” anlamını anlatmak için ikide bir “büyük olasılıkla” deyip duruyorsunuz. Şu “olasılık” sözünü kullanmadan bana olasılığı anlatır mısınız lütfen?
HOCA: Hmm. Peki, şöyle diyelim o zaman: Ortaya çıkan sonuç, hata payının ötesinde olsaydı şaşırırdım.
ÖĞRENCİ: Olmaz böyle bir şey ya! Bize istatistik mekanik, kuantum mekaniği, matematiksel olasılıkla falan ilgili anlattığınız şeylerin anlamı bu muydu yani; işe yaramasa şaşırırmışsınız, öyle mi?
HOCA: Ee, şeyy…
Bozuk parayı bir milyon kez atacak olsam, hepsinin tura gelmeyeceğinden adım gibi emin olurum. Pek öyle bahisçi bir adam değilimdir, ama gelmeyeceğinden öyle emin olurdum ki, hayatımın ya da ruhumun üstüne iddiaya girebilirdim. Büyük sayılar yasasının işe yarayacağından ve beni koruyacağından kesinlikle eminim. Tüm bilim bunun üstüne kuruludur. Ama bu kanıtlayabileceğim bir şey değil ve nasıl işlediğini de pek bilemiyorum. Belki de Einstein bu nedenle, “Tanrı zar atmaz” demiştir. Büyük olasılıkla bu nedendir.
LEONARD SUSSKIND
